Question

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（-x2+ax-3）ex（a为实数）．（Ⅰ）当a=5时，求函数y=g（x）在x=1处的切线

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（-x2+ax-3）ex（a为实数）．（Ⅰ）当a=5时，求函数y=g（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（Ⅲ）若存在两不等实根x1，x2∈[1e，e]，使方程g（x）=2exf（x）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当a=5时，g（x）=（-x²+5x-3）-e^x，g（1）=e．
g′（x）=（-x²+3x+2）-e^x，故切线的斜率为g′（1）=4e
∴切线方程为：y-e=4e（x-1），即y=4ex-3e；
（Ⅱ）f′（x）=lnx+1，

x	(0， 1 e )	1 e	( 1 e ，+∞)
f'（x）	-	0	+
f（x）	单调递减	极小值（最小值）	单调递增

①当t≥

1

e

时，在区间（t，t+2）上f（x）为增函数，
∴f（x）_min=f（t）=tlnt；                                      
②当0＜t＜

1

e

时，在区间(t，

1

e

)上f（x）为减函数，在区间(

1

e

，e)上f（x）为增函数，
∴f(x)min＝f(

1

e

)＝?

1

e

；                                     
（Ⅲ） 由g（x）=2e^xf（x），可得：2xlnx=-x²+ax-3，
a＝x+2lnx+

3

x

，
令h(x)＝x+2lnx+

3

x

，h′(x)＝1+

2

x

?

3

x2

＝

(x+3)(x?1)

x2

．

x	( 1 e ，1)	1	（1，e）
h′（x）	-	0	+
h（x）	单调递减	极小值（最小值）	单调递增

h(

1

e

)＝

1

e

+3e?2，h（1）=4，h（e）=

3

e

+e+2．
h(e)?h(

1

e

)＝4?2e+

2

e

＜0．
∴使方程g（x）=2e^xf（x）存在两不等实根的实数a的取值范围为4＜a≤e+2+

3

e

．