Question

已知：如图，直角△ABC中，∠ABC=90°，将△ABC绕着顶点C按顺时针方向旋转角度α（0＜α＜180°） 得到

已知：如图，直角△ABC中，∠ABC=90°，将△ABC绕着顶点C按顺时针方向旋转角度α（0＜α＜180°） 得到△A′B′C，连接AA′，BB′，射线 BB′交AC于点M，交AA′于点N（1）若AC=63，α=2∠BAC，求线段BM的长（2）求证：△AMN∽△BMC（3）若3AN=4B′C，sin∠BAC=14，请你确定旋转角α的度数（精确到1°）

Answer 1

（1）∵CB=CB'，
∴∠CBB′＝∠CB′B＝

180?α

2

＝90?

α

2

．
∵∠BAC=

α

2

，∠ABC=90°，
∴∠BCM=90°-

α

2

．
∴∠CBB'=∠BCM．
∴BM=CM．
又∵∠BAC=∠ABM，
∴AM=BM．（2分）
∴BM是Rt△ABC斜边上的中线，
∴BM=

1

2

AC＝3

3

．（3分）

（2）∵CB=CB'，
∴∠CBB′＝∠CB′B＝

180?α

2

＝90?

α

2

．
同理∠CAA′＝90?

α

2

，
∴∠CAA'=∠CBB'．（5分）
又∠AMN=∠BMC，
∴△AMN∽△BMC．（6分）

（3）∵△AMN∽△BMC．
∴

AM

BM

＝

AN

BC

＝

AN

B′C

＝

4

3

．（7分）
过点M画MH⊥AB于H，
∵sin∠BAC＝

1

4

，
∴MH＝

1

4

AM．
在Rt△BHM中，sin∠MBH＝

1

4

AM÷

3

4

AM＝

1

3

．（8分）
∴∠ABM=19.5°．
∴∠CBB'=∠CB'B=90°-19.5°=70.5°，
∴α=180°-70.5×2=39°．（10分）