Question

已知函数f（x）= 3 sinxcosx- cos 2 x- 1 2 ，x∈R ．（Ⅰ） 求函数f（x）的最

已知函数f（x）= 3 sinxcosx- cos 2 x- 1 2 ，x∈R ．（Ⅰ） 求函数f（x）的最小值和最小正周期；（Ⅱ）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=3，f（C）=0，若向量 m =(1，sinA) 与 n =(2，sinB) 共线，求a，b的值．

Answer 1

（Ⅰ）函数f（x）= 3 sinxcosx- cos 2 x- 1 2 = 3 2 sin2x - 1 2 cos2x -1=sin（2x- π 6 ）-1， ∴f（x）的最小值为-2，最小正周期为π．…（5分） （Ⅱ）∵f（C）=sin（2C- π 6 ）-1=0，即  sin（2C- π 6 ）=1， 又∵0＜C＜π，- π 6 ＜2C- π 6 ＜ 11π 6 ，∴2C- π 6 = π 2 ，∴C= π 3 ．  …（7分） ∵向量 m =(1，sinA) 与 n =(2，sinB) 共线，∴sinB-2sinA=0． 由正弦定理   a sinA = b sinB ，得 b=2a，①…（9分） ∵c=3，由余弦定理得9= a 2  + b 2 -2abcos π 3 ，②…（11分） 解方程组①②，得 a= 3  b=2 3 ．       …（13分）