Question

如图（1），AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，若直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD，垂足为D．（1）求证：△ADC

如图（1），AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，若直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD，垂足为D．（1）求证：△ADC∽△ACB；（2）如果把直线CD向下平行移动，如图（2），直线CD交⊙O于C、G两点，若题目中的其他条件不变，且AG=4，BG=3，求tan∠DAC的值．

Answer 1

解答：（1）证明：连OC，如图
∵直线CD与⊙O相切于C，
∴OC⊥CD，
又∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠1=∠2，
∵OC=OA，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB；

（2）解：∵四边形ABGC为⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠ACG=180°，
而∠ACG+∠ACD=180°，
∴∠ACD=∠B，
而∠ADC=∠AGB=90°，
∴∠DAC=∠GAB，
在Rt△ABG中，AG=4，BG=3，
∴tan∠GAB=

GB

GA

=

3

4

，
∴tan∠DAC=

3

4

．