Question

已知函数f（x）=|x2-2ax+b|（x∈R），给出下列命题：（1）f（x）必是偶函数；（2）当f（0）=f（2）时，f

已知函数f（x）=|x2-2ax+b|（x∈R），给出下列命题：（1）f（x）必是偶函数；（2）当f（0）=f（2）时，f（x）的图象关于直线x=1对称；（3）若a2-b≤0，则f（x）在区间[a，+∞）上是增函数；（4）f（x）有最大值|a2-b|．其中正确的命题序号是（　　）A．（3）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（2）（3）

Answer 1

（1）当a=0时，函数f（x）是偶函数，当a≠0时，f（x）必非奇非偶函数，所以（1）错误．
（2）若f（0）=f（2），则|b|=|4-4a+b|，所以4-4a+b=b或4-4a+b=-b，即a=1或b=2a-2．当a=1时，f（x）的对称轴为x=1．
当b=2a-2时，f（x）=|x²-2ax+2a-2|=|（x-a）²-2-a²|，此时对称轴为x=a，所以（2）错误．
（3）若a²-b≤0，则f（x）=|x²-2ax+b|=|（x-a）²+b-a²|=（x-a）²+b-a²，所以此时函数区间[a，+∞）上是增函数，所以（3）正确．
（4）由（3）知，当a²-b≤0，函数f（x）有最小值|a²-b|=a²-b，所以（4）错误．
故选A．