Question

求极限(1-cosxcos2x...cosnx)/(x^2) (lim x->0)

Answer 1

lim x→0(1-cosxcos2x...cosnx)/(x^2)

=lim(sinx/cosx+2sin2x/cos2x+...+nsinnx/cosnx)cosxcos2x...cosnx/(2x)

=1/2lim(tanx/x+2tan2x/x+...+ntannx/x)cosxcos2x..cosnx

=1/2(1+2^2+3^2+...+n^2)*1

=n(n+1)(2n+1)/12

极限的求法有很多种：

1、连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。

2、利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）。

3、利用无穷大与无穷小的关系求极限。

4、利用无穷小的性质求极限。

5、利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算。

6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限。

Answer 2

lim x→0(1-cosxcos2x...cosnx)/(x^2)
=lim(sinx/cosx+2sin2x/cos2x+...+nsinnx/cosnx)cosxcos2x...cosnx/(2x)
=1/2lim(tanx/x+2tan2x/x+...+ntannx/x)cosxcos2x..cosnx
=1/2(1+2^2+3^2+...+n^2)*1
=n(n+1)(2n+1)/12

Answer 3