Question

如图，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是矩形，AB=2 ， ，且侧面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD，E是棱PA的

如图，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是矩形，AB=2 ， ，且侧面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD，E是棱PA的中点，（Ⅰ）求证：PD⊥AC；（Ⅱ）在棱PA上是否存在一点E，使得二面角E-BD-A的大小为45°，若存在，试求 的值，若不存在，请说明理由。

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Answer 1

解：取AB中点H， 则由PA＝PB，得PH⊥AB， 又平面PAB⊥平面ABCD， 且平面PAB∩平面ABCD=AB， 所以PH⊥平面ABCD， 以H为原点，建立空间直角坐标系H-xyz（如图）， 则 ， （Ⅰ）证明：∵ ，     ∴ ， ∴ ，即PD⊥AC。 （Ⅱ）假设在棱PA上存在一点E， 不妨设 =λ ， 则点E的坐标为 ，   ∴ ， 设 是平面EBD的法向量， 则 ， 不妨取 ， 则得到平面EBD的一个法向量 ， 又面ABD的法向量可以是 =(0，0， )， 要使二面角E-BD-A的大小等于45°， 则 ， 可解得 ，即 = ， 当 时，使得二面角E-BD-A的大小等于45°。