Question

已知z，ω为复数，（1+3i）?z为纯虚数，ω=z2+i，且|ω|=52，求复数z及ω（设z=x+yi，x、y∈R

已知z，ω为复数，（1+3i）?z为纯虚数，ω=z2+i，且|ω|=52，求复数z及ω（设z=x+yi，x、y∈R）

Answer 1

设z=x+yi，（x、y∈R），则（1+3i）?z=（x-3y）+（3x+y）i为纯虚数，
∴x-3y=0，3x+y≠0，
∵|ω|=|

z

2+i

|=5

2

，
∴|z|=

x2+y2

=5

10

；又x=3y．
解得x=15，y=5，或x=-15，y=-5，
∴z=±（15+5i），ω=±

15+5i

2+i

=±（7-i）．