Question

（2014?广东）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥

（2014?广东）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）（2）求证：OD=OE；（3）求证：PF是⊙O的切线．

Answer 1

（1）解：∵AC=12，
∴CO=6，
∴

PC

=

60?π?6

180

=2π；
答：劣弧PC的长为：2π．

（2）证明：∵PE⊥AC，OD⊥AB，
∠PEA=90°，∠ADO=90°
在△ADO和△PEO中，

∠ADO＝∠PEO ∠AOD＝∠POE OA＝OP

，
∴△POE≌△AOD（AAS），
∴OD=EO；

（3）证明：如图，连接AP，PC，
∵OA=OP，
∴∠OAP=∠OPA，
由（2）得OD=EO，
∴∠ODE=∠OED，
又∵∠AOP=∠EOD，
∴∠OPA=∠ODE，
∴AP∥DF，
∵AC是直径，
∴∠APC=90°，
∴∠PQE=90°
∴PC⊥EF，
又∵DP∥BF，
∴∠ODE=∠EFC，
∵∠OED=∠CEF，
∴∠CEF=∠EFC，
∴CE=CF，
∴PC为EF的中垂线，
∴∠EPQ=∠QPF，
∵△CEP∽△CAP
∴∠EPQ=∠EAP，
∴∠QPF=∠EAP，
∴∠QPF=∠OPA，
∵∠OPA+∠OPC=90°，
∴∠QPF+∠OPC=90°，
∴OP⊥PF，
∴PF是⊙O的切线．

Answer 2

数据如图所示，PC劣弧

PC劣弧长度=2π，OD=OE=2.06 .

Answer 3

（1）解：因为 AC是直径，AC=12，
所以 半径R=6，
又 ∠POC=60°，
所以 劣弧PC的长=(60πx6)/180
=2π。
（2）证明：因为 OD⊥AB，PE⊥AC，
所以 ∠ADO=∠PEO=90度，
又 ∠AOD=∠POE，OA=OP，
所以 △AOD全等于△POE ，
所以 OD=OE。
（3）证明：稍等一会