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(2014?广东)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AC是直径,过点O作OD⊥AB于点D,延长DO交⊙O于点P,过点P作PE⊥
(2014?广东)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AC是直径,过点O作OD⊥AB于点D,延长DO交⊙O于点P,过点P作PE⊥AC于点E,作射线DE交BC的延长线于F点,连接...
(2014?广东)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AC是直径,过点O作OD⊥AB于点D,延长DO交⊙O于点P,过点P作PE⊥AC于点E,作射线DE交BC的延长线于F点,连接PF.(1)若∠POC=60°,AC=12,求劣弧PC的长;(结果保留π)(2)求证:OD=OE;(3)求证:PF是⊙O的切线.
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(1)解:∵AC=12,
∴CO=6,
∴
=
=2π;
答:劣弧PC的长为:2π.
(2)证明:∵PE⊥AC,OD⊥AB,
∠PEA=90°,∠ADO=90°
在△ADO和△PEO中,
,
∴△POE≌△AOD(AAS),
∴OD=EO;
(3)证明:如图,连接AP,PC,
∵OA=OP,![](https://iknow-pic.cdn.bcebos.com/9a504fc2d56285355048289093ef76c6a6ef63d3?x-bce-process=image%2Fresize%2Cm_lfit%2Cw_600%2Ch_800%2Climit_1%2Fquality%2Cq_85%2Fformat%2Cf_auto)
∴∠OAP=∠OPA,
由(2)得OD=EO,
∴∠ODE=∠OED,
又∵∠AOP=∠EOD,
∴∠OPA=∠ODE,
∴AP∥DF,
∵AC是直径,
∴∠APC=90°,
∴∠PQE=90°
∴PC⊥EF,
又∵DP∥BF,
∴∠ODE=∠EFC,
∵∠OED=∠CEF,
∴∠CEF=∠EFC,
∴CE=CF,
∴PC为EF的中垂线,
∴∠EPQ=∠QPF,
∵△CEP∽△CAP
∴∠EPQ=∠EAP,
∴∠QPF=∠EAP,
∴∠QPF=∠OPA,
∵∠OPA+∠OPC=90°,
∴∠QPF+∠OPC=90°,
∴OP⊥PF,
∴PF是⊙O的切线.
∴CO=6,
∴
PC |
60?π?6 |
180 |
答:劣弧PC的长为:2π.
(2)证明:∵PE⊥AC,OD⊥AB,
∠PEA=90°,∠ADO=90°
在△ADO和△PEO中,
|
∴△POE≌△AOD(AAS),
∴OD=EO;
(3)证明:如图,连接AP,PC,
∵OA=OP,
∴∠OAP=∠OPA,
由(2)得OD=EO,
∴∠ODE=∠OED,
又∵∠AOP=∠EOD,
∴∠OPA=∠ODE,
∴AP∥DF,
∵AC是直径,
∴∠APC=90°,
∴∠PQE=90°
∴PC⊥EF,
又∵DP∥BF,
∴∠ODE=∠EFC,
∵∠OED=∠CEF,
∴∠CEF=∠EFC,
∴CE=CF,
∴PC为EF的中垂线,
∴∠EPQ=∠QPF,
∵△CEP∽△CAP
∴∠EPQ=∠EAP,
∴∠QPF=∠EAP,
∴∠QPF=∠OPA,
∵∠OPA+∠OPC=90°,
∴∠QPF+∠OPC=90°,
∴OP⊥PF,
∴PF是⊙O的切线.
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(1)解:因为 AC是直径,AC=12,
所以 半径R=6,
又 ∠POC=60°,
所以 劣弧PC的长=(60πx6)/180
=2π。
(2)证明:因为 OD⊥AB,PE⊥AC,
所以 ∠ADO=∠PEO=90度,
又 ∠AOD=∠POE,OA=OP,
所以 △AOD全等于△POE ,
所以 OD=OE。
(3)证明:稍等一会
所以 半径R=6,
又 ∠POC=60°,
所以 劣弧PC的长=(60πx6)/180
=2π。
(2)证明:因为 OD⊥AB,PE⊥AC,
所以 ∠ADO=∠PEO=90度,
又 ∠AOD=∠POE,OA=OP,
所以 △AOD全等于△POE ,
所以 OD=OE。
(3)证明:稍等一会
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