Question

在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D1是斜边AB的中点，过点D1作D1E1⊥AC于点E1，连接BE1，交CD1于点D2，过

在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D1是斜边AB的中点，过点D1作D1E1⊥AC于点E1，连接BE1，交CD1于点D2，过点D2作D2E2⊥AC于点E2，连接BE2交CD1于点D3，过点D3作D3E3⊥AC于点E3，…如此继续，可以依次得到D4，D5，…，Dn，已知△ABC面积为1，分别记△BD1E1，△BD2E2，△BD3E3，…，△BDnEn的面积为S1，S2，S3，…，Sn，则Sn=______．

Answer 1

易知D₁E₁∥BC，∴△BD₁E₁与△CD₁E₁同底同高，面积相等，以此类推；
根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质可知：D₁E₁=

1

2

BC，CE₁=

1

2

AC，S₁=

1

22

S_△ABC；
∴在△ACB中，D₂为其重心，
∴D₂E₁=

1

3

BE₁，
∴D₂E₂=

1

3

BC，CE₂=

1

3

AC，S₂=

1

32

S_△ABC，
∵D₂E₂：D₁E₁=2：3，D₁E₁：BC=1：2，
∴BC：D₂E₂=2D₁E₁：

2

3

D₁E₁=3，
∴CD₃：CD₂=D₃E₃：D₂E₂=CE₃：CE₂=3：4，
∴D₃E₃=

3

4

D₂E₂=

3

4

×

1

3

BC=

1

4

BC，CE₃=

3

4

CE₂=

3

4

×

1

3

AC=

1

4

AC，S₃=

1

42

S_△ABC…；
∴S_n=

1

(n+1)2

S_△ABC．
故答案为：

1

(n+1)2

S_△ABC．