Question

已知f（x）的一个原函数是（1+sinx）lnx，求∫ xf′（x）dx

已知f（x）的一个原函数是（1+sinx）lnx，求∫ xf′（x）dx．

Answer 1

xf′（x）dx=xlnx（1+cosx）+（1+sinx）（1-lnx）+C。C为常数。

由于f（x）的一个原函数是（1+sinx）lnx

故∫f（x）dx=（1+sinx）lnx+C

f（x）=[（1+sinx）lnx]′=（1+cosx）lnx+（1+sinx）/x

从而，利用分部积分计算可得:

∫xf′（x）dx 

=∫xd（f（x）） 

=xf（x）-∫f（x）dx 

=xlnx（1+cosx）+（1+sinx）（1-lnx）+C

扩展资料：

求不定积分的方法：

换元其实就是一种拼凑，利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f（x）的函数，再把f（x）看为一个整体，求出最终的结果。（用换元法说，就是把f（x）换为t，再换回来）。

分部积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的，记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘（x）dx=df（x）变形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）dx这样的公式，当然x可以换成其他g（x）。

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

由于f（x）的一个原函数是（1+sinx）lnx，
故∫f（x）dx=（1+sinx）lnx+C，
f（x）=[（1+sinx）lnx]′=（1+cosx）lnx+

1+sinx

x

．
从而，利用分部积分计算可得，

∫

xf′（x）dx
=∫xd（f（x））
=xf（x）-∫f（x）dx
=xlnx（1+cosx）+（1+sinx）（1-lnx）+C．