Question

设正项级数∞n＝1un，∞n＝1vn都收敛，证明级数∞n＝1（un+vn）2收敛

设正项级数∞n＝1un，∞n＝1vn都收敛，证明级数∞n＝1（un+vn）2收敛．





Answer 1

解答：证明：因为正项级数

∞

n＝1

u_n与

∞

n＝1

v_n都收敛，
所以

lim

n→∞

un＝

lim

n→∞

vn＝0．
利用极限的定义可得，
对于?=1，存在N，当n＞N时，u_n≤1，v_n≤1，
故有：(un+vn)2＝

u

2 n

+

v

2 n

+2unvn≤3un+vn，
从而，利用比较判别法可得，
级数

∞

n＝1

（u_n+v_n）²收敛．