Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．（1）以AB边上一点O为圆心，AD为弦作

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．（1）以AB边上一点O为圆心，AD为弦作⊙O（要求用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若（1）中的⊙O的半径为2，⊙O与AB边的另一个交点为E，BD=23，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积．（结果保留根号和π）

Answer 1

（1）作线段AD的垂直平分线，交AB于点O，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，如图1，

⊙O即为所求作．

（2）直线BC与⊙O相切．
证明：连接OD，如图2．

∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA．
∵AD平分∠CAB，
∴∠BAD=∠CAD．
∴∠ODA=∠CAD．
∴OD∥AC．
∴∠ODB=∠ACB．
∵∠ACB=90°，
∴∠ODB=90°，即OD⊥BC．
∴直线BC与⊙O相切．

（3）连接OD，如图3，

则OD⊥BC（已证），阴影部分的面积就是所求图形的面积．
在Rt△ODB中，
∵OD=2，BD=2

3

，
∴tan∠DOB=

BD

OD

=

2 3

2

=

3

．
∴∠DOB=60°．
∴S_扇形ODE=

60×π×22

360

=

2π

3

．
∵S_△ODB=

1

2

OD?DB=

1

2

×2×2

3

=2

3

，
∴S_阴影=S_△ODB=-S_扇形ODE=2

3

-

2π

3

．
∴线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积为2

3

-