Question

如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上，直线 经过等腰Rt△AOB的直角顶点A，交y轴于C

如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上，直线 经过等腰Rt△AOB的直角顶点A，交y轴于C点．(1) 求点A坐标； (2)若点P为x轴上一动点．点Q的坐标是（ ， ），△PAQ是以点A为直角顶点的等腰三角形．求出 的值并写出点Q的坐标．（3）在(2)的条件下，若D是坐标平面内任意一点，使点A、P、Q、D刚好能构成平行四边形，请直接写出符合条件的点D的坐标．

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Answer 1

（1）A（2，2）；（2）a=4，Q（4，1）（3）D点的坐标为（﹣1，1），（5，3），（3，﹣2）．

试题分析：（1）过点A分别作AM⊥y轴于M点，AN⊥x轴于N点，根据直角三角形的性质可设点A的坐标为（a，a），因为点A在直线y=2x﹣2上，即把A点坐标代入解析式即可算出a的值，进而得到A点坐标． （2）连接AQ，过A点作AP⊥AQ交x轴于P点．由ASA易证△AOP≌△ABQ，得出∠AOP=∠ABQ=45，从而求得QB⊥OB，根据B点、Q点的纵坐标相等得出结果． （3）因为点D与A，P，Q三点构成平行四边形，所以需分情况讨论：因为A（2，2），P（﹣1，0），Q（4，1），利用平行四边形的对边分别平行且相等， 若QD∥BA，则符合条件的点D的坐标分别是D 1 （5，3），D 2 （3，﹣2）；若PD∥QA，则符合条件的点D的坐标分别是D 2 （3，﹣2），D 3 （﹣1，1）． 试题解析：（1）过点A分别作AM⊥y轴于M点，AN⊥x轴于N点， ∵△AOB是等腰直角三角形， ∴AM=AN． 设点A的坐标为（a，a）， ∵点A在直线y=2x﹣2上， ∴a=2a﹣2， 解得a=2， ∴A（2，2） （2）连接AQ，过A点作AP⊥AQ交x轴于P点， 则△APQ为等腰直角三角形． ∵∠OAB=∠PAQ=90° ∴∠OAB﹣∠PAB=∠PAQ﹣∠PAB， ∴∠OAP=∠BAQ， 在△APO与△ABQ中 ∴△APO≌△ABQ（SAS）， ∴∠AOP=∠ABO=45° ∴QB⊥OB ∵A（2，2） ∴B（4，0） ∵Q点的坐标是（a， ）， ∴a=4， ∴Q（4，1）， （3）在（2）的条件下，若D是坐标平面内任意一点，使点A、P、Q、D刚好能构成平行四边形，则D点的坐标为（﹣1，1），（5，3），（3，﹣2）．