Question

设直线x+2y+4=0和圆x 2 +y 2 -2x-15=0相交于点A，B．（1）求弦AB的垂直平分线方程；（2）求弦AB的长

设直线x+2y+4=0和圆x 2 +y 2 -2x-15=0相交于点A，B．（1）求弦AB的垂直平分线方程；（2）求弦AB的长．

Answer 1

（1）∵圆x 2 +y 2 -2x-15=0化成标准方程得（x-1） 2 +y 2 =16， ∴圆心为C（1，0），半径r=4． ∵直线x+2y+4=0和圆x 2 +y 2 -2x-15=0相交于点A、B， ∴设弦AB的垂直平分线为l：2x-y+m=0， 由垂径定理，可知点C（1，0）在l上，得2×1-0+m=0，解之得m=-2． 因此，弦AB的垂直平分线方程为2x-y-2=0； （2）圆心C（1，0）到直线x+2y+4=0的距离为： d= |1+2×0+4| 1 2 + 2 2 = 5 ． 根据垂径定理，得|AB|=2 r 2 - d 2 =2 11 ，即弦AB的长等于2 11 ．