Question

已知正四棱锥S-ABCD的所有棱长均为2，则过该棱锥的顶点S及底面正方形各边中点的球的体积为______

已知正四棱锥S-ABCD的所有棱长均为2，则过该棱锥的顶点S及底面正方形各边中点的球的体积为______．

Answer 1

解：如图所示，设球半径为R，底面中心为O'且球心为O，
∵正四棱锥S-A′B′C′D′中A′B′=1，SA′=

6

2

，
∴A′O′=

2

2

，可得SO′=1，OO'=SO'-SO=1-R．
∵在Rt△A′OO'中，A′O²=A′O'²+OO'²，
∴R²=（

2

2

）²+（1-R）²，解之得R=

3

4

，
因此可得外接球的体积V=

4

3

πR³=

9

16

π．
故答案为：

9

16

π．