Question

设A是n级可逆实矩阵，证明A'A+AA'为正定矩阵，A'为A转置

Answer 1

A为n阶可逆矩阵，设其特征值为k, 对应得一个右特征向量为u(列向量) 则 u'A'Au= (Au)'Au=k^2 u'u =k^2 |u|^2 k!=0, u!=0, 所以u'A'Au >0 则对于任意向量x=k1 u1 +k2 u2+...+kr un 有 x'A'Ax >0， 即A'A是正定矩阵 同理 AA'是正定矩阵 所以 A'A+AA' 是正定矩阵 当然也可以使用奇异值证明