已知x,y,z都是实数,且x 2 +y 2 +z 2 =1,则xy+yz+xz的最大值为______.
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把原式两边同时乘以2得:
2(x 2 +y 2 +z 2 )=2,即(x 2 +y 2 )+(x 2 +z 2 )+(y 2 +z 2 )=2,
∵x 2 +y 2 ≥2xy,x 2 +z 2 ≥2xz,y 2 +z 2 ≥2yz,
∴2=(x 2 +y 2 )+(x 2 +z 2 )+(y 2 +z 2 )≥2xy+2xz+2yz,
即xy+xz+yz≤1,当且仅当x=y=z时取等号,
则xy+xz+yz的最大值为1.
2(x 2 +y 2 +z 2 )=2,即(x 2 +y 2 )+(x 2 +z 2 )+(y 2 +z 2 )=2,
∵x 2 +y 2 ≥2xy,x 2 +z 2 ≥2xz,y 2 +z 2 ≥2yz,
∴2=(x 2 +y 2 )+(x 2 +z 2 )+(y 2 +z 2 )≥2xy+2xz+2yz,
即xy+xz+yz≤1,当且仅当x=y=z时取等号,
则xy+xz+yz的最大值为1.
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