Question

通俗易懂的傅里叶级数和傅里叶变换(二)

Answer 1

在上一篇中 通俗易懂的傅里叶级数和傅里叶变换(一) 中简单介绍了什么是傅里叶级数，最后得到了在周期为 的傅里叶级数的系数解，那么如何得到任意周期的傅里叶级数呢？

我们先看在周期为 的函数傅里叶级数表达:

其对应的解为：

如何将其变为任意周期的函数呢？

其实这里只需要简单的换元操作即可。
举个栗子:
其周期为 , 。我们令 ,则 ,整理下:

所以在对于t来说就变换成了周期为 的函数。
so对于周期为 （方便计算）的函数f(t) 只需令 带入原周期为 的函数即可：

同样的可以得到：

最后我们得到:

过程很简单，我就省略了，毕竟人生苦短。

我们在写一下傅里叶级数的公式：

其中T代表函数的周期，也就是上面的2L，对应的解就是:

想要得到傅里叶级数的复数形式，需要先了解下欧拉公式。
关于欧拉公式，网上有很多的博客，这里就不细说了，只是简单说下欧拉公式的本质。
我们先看下公式：

可以看作是复平面上的一个向量，其到实轴的投影是 ，到虚轴的投影是 ，其中 便是向量与实轴的夹角。

而欧拉公式的直观理解就是在复平面上做圆周运动

随着 变化， 就变成圆周运动了。而前面的系数a则是圆的半径，当a=1的时候就是在单位圆上做圆周运动。

而且通过欧拉公式，我们可以得到三角函数的复数形式：

将上面的复变三角函数替换傅里叶级数中的三角函数得到:

我们令 中的n为-n
则得到：

所以可以看到n的范围变成了 到 ，并且每一项都有 ，于是我们可以得到一个漂亮的形式：

其中 分为3中情况：

我们将傅里叶级数之前的解带入上边

这里因为cos是偶函数，sin是奇函数所以：

可以惊奇的发现，三种情况的解是一样的。所以对于任意周期函数，我们都可以写成:

但其中的每一项是什么意思呢？
还记得之前说的 的本质吗？在圆上做圆周运动，那么 也是在做周期运动了。那 又是什么呢？
我们知道 ，所以我们可以把 看成是以 为单位的频率(正常来讲频率是 )。而系数 是就可以看成是几倍的基频，正数是逆时针运动，负数就是顺时针运动。在图形上的反应就是，频率越高，转的越快了
，但其最小公共周期是一样的。
1倍基频

那么系数 怎么理解呢？前面说过 的系数a是代表 运动的圆半径，这里 是复数是不是也能这样理解呢？其实粗糙来讲是可以这样理解的。
看个图，只管的理解下把

上图中红色的向量相对于蓝色的向量只是多了系数 ,所以红色向量运动的半径就是2刚好是复数 的模长乘以1，当然除此之外，红色向量的幅角也变大了些。这些都是因为复数的乘法性质---复数相乘表现为幅角相加，模长相乘。
这下，当有人和你说傅里叶变换是把时域变换到频域上，你应该就很容易理解是什么意思了。频域就是1倍，2倍，3倍.......的 ,而每个 都有自己的幅长 ,当把这些所有的 相加，就得到时域中的图像。

更加生动有趣的介绍可以参见 傅里叶分析之掐死教程 ，我这里是从数学的角度来介绍傅里叶变换。

目前该证明的都差不多了，还有最后一个任务，就是推广到非周期函数上。对于非周期函数，我们可以看成是周期无限远的函数，那也就是周期T变成 的时候傅里叶级数。随则T的变大 也就不断的减小，当T趋近于 的时候， 也由 变成了 ，那么很自然就需要对 做积分。

我们先看下

当T趋近于 的时候 我们可以得到：

将这些带入 傅里叶级数,并且T趋近于 ，就得到:

其中画红圈的地方就是傅里叶变换

而整个公式就是傅里叶逆变换，写成：

以上就是傅里叶变换的全部内容，如果你喜欢的话就点个赞。有时间的话，我会写些傅里叶变换的应用。