Question

方程lg(x-a)/lgx=2至少有一实根，求a的范围

Answer 1

解：把a看作已知数，然后解除这个方程

lg(x-a)=2lgx

lg(x-a)=lgx^2.

y=lgx在（0，+无穷）上的单调递增的，

是单调的，

所以lg(x-a)=lgx^2的解即x-a=x^2的解。

因为是单调的，令lg(x-a)=lgx^2=t。

当函数值都为t时，即函数值相等，则对应的自变量的值一定相等，

x-a=x^2的解即院方称的解，

然后至少有一个解，x^2-x+a=0在（a,+无穷）交（0，+无穷）上的解至少有一个，

这个是一元二次方程，方程的解有无解，一个解，两个解三种情况，

至少一个，无解，解的个数为零，0不属于[1,+无穷）（舍）

1,2属于[1,+无穷），所以可能成立，

1. 有一个解，1-4a=0,4a=1,a=1/4

2. x>1/4且x>0,x>1/4

x^2-x+1/4=0

4x^2-4x+1=0

(2x-1)^2=0

2x-1=0

2x=1

x=1/2

属于（1/4,+无穷）内，所以成立，a=1/4

2.有两个解，1-4a>0

4a<1

a<1/4

解集必须在（a,+无穷）交（0，+无穷）之内，

a<=0,a=-1,(-1,+无穷）交（0，+无穷）=（0，+无穷），

a<=0。两个解都为整十数，则两根之和>0,且两根之即>0

1>0,a:R

a>0

a>0

a<=0与a>0互相矛盾，二者不可能同时成立，即二者的交集为空集。（舍）

2.a>0,0<a<1/4

交集为x>a且x>0,a>0,所以交集为x>a

即两个根都大于a,a是介于（0,1/4)内的数。

树形结合，x^2-x+a=0

假设a=1/8,然后画出x>1/8的两个点，x1=1,x2=2，

然后开口向上，画出抛物线图像，

x1,x2>a,

x1+x2>2a

(x1+x2)/2>a

1/2>a

y=x^2-x+a

x=-(-1)/2=1/2

f(1/2)<0

1/4-1/2+a<0

-1/4+a<0

a<1/4

综上：0<a<=1/4

(0,1/4].