Question

三角函数求极限问题，二步到三步什么意思

Answer 1

等价无穷小替换。
其中用到：(1+x^2)^(1/3)-1 ~ 1/3x^2
(1+u^2)^(1/2)-1 ~ 1/2x^2
其中(1+sinx)^(1/2)-1=(1+(sin^(1/2)x)^2)^(1/2)-1 ~ 1/2sinx
证明如下：设x=tant t->0
(1+x^2)^(1/2)=sect
lim(sect-1)/(1/2tan^2t)用诺不答法则：
=lim(secttant)/(tantsec^2t)
=lim(cost)=cos0=1
故：(1+x^2)^(1/2)-1~1/2x^2
同样：
lim[(1+x^2)^(1/3)-1]/(1/3x^2)中，设x=tant
=lim(sec^(2/3)t-1)/(1/3tan^2t)
=lim(2/3sec^(-1/3)t * secttant)/(2/3tantsec^2t)
=lim(sec^(-4/3)t)
=limcos^(4/3)t=cos^(4/3)0=1
故：(1+x^2)^(1/3)-1 ~ 1/3x^2

追问

貌似大一没有讲过什么不诺法则啊，如果让您做此题，还有简单一点的解答吗？图中原式即为原题。

Answer 2

采用无穷小近似
(x+1)^a=ax+1

追问

能详细些吗，谢谢了。

追答

(1+x^2)^(1/3)-1 =1/3x^2
(1+sinx)^(1/2)-1=1/2sinx