Question

判断敛散性

Answer 1

解：(1)小题，用“根式判别法/柯西判别法”。设an=(n^2)/(n+1/n)^n，则lim(n→∞)(an)^(1/n)=lim(n→∞)[n^(2/n)]/(n+1/n)=0<1，满足根式判别法/柯西判别法条件，∴∑(n^2)/(n+1/n)^n收敛。
(2)小题，∵n→∞时，ln[(n+1)/n]=ln(1-1/n)~1/n，∴∑[(-1)^n]ln[(n+1)/n]与∑[(-1)^n]/n有相同的敛散性。
而，∑[(-1)^n]/n是交错级数，满足莱布尼兹判别法的条件，收敛。∴∑[(-1)^n]ln[(n+1)/n]收敛。
(3)小题，设an=3(n^n)/(n+1)^n，则lim(n→∞)an=lim(n→∞)3/(1+1/n)^n=3/e>1≠0，根据级数收敛的必要条件，∴∑3(n^n)/(n+1)^n发散。
(4)小题，∵∫(0,1/n)√xdx=(2/3)x^(3/2)丨(x=0,1/n)=(2/3)/n^(3/2)，是p=3/2>1的p-级数，收敛，∴∑∫(0,1/n)√xdx收敛。
供参考。