Question

高数线性代数。“分别不全为0”无法保证两组都线性无关啊！怎么理解？

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Answer 1

如果k1a1+k2a+……kn-ran-r=0向量的话
那么当然有k1，k2,……kn-r全为0
如果l1b1+l2b2+……ln-rbn-r=0向量的话
那么当然有l1，l2……ln-r全为0
但是现在是k1a1+k2a2+……kn-ran-r+l1b1+l2b2+……ln-rbn-r=0向量
所以完全可能存在这样一种情况：
k1a1+k2a+……kn-ran-r=n（n不是0向量）
l1b1+l2b2+……ln-rbn-r=-n（当然-n也就不是0向量了）
但是k1a1+k2a2+……kn-ran-r+l1b1+l2b2+……ln-rbn-r=n-n=0向量
所以k1a1+k2a+……kn-ran-r=n（n不是0向量）的时候，k1，k2,……kn-r当然可以不全为0，这和a1，a2……an-r线性无关没任何矛盾。
同理，l1b1+l2b2+……ln-rbn-r=-n（当然-n也就不是0向量了）的时候，l1，l2……ln-r当然可以不全为0，这和b1，b2……bn-r线性无关也没任何矛盾。
而这种情况下
（k1，k2，k3……kn-r）和（l1，l2，l3……ln-r）分别不全为0
却有k1a1+k2a2+……kn-ran-r+l1b1+l2b2+……ln-rbn-r=n-n=0向量成立