Question

一道复变函数留数的题目？

1，怎么判断z=0是二级极点？2，为什么答案说f(z)是偶函数，就可以Res[f(z)，0]=0？3，如果用书上讲的规则三，这题能做吗？题目和规则三如图，求大佬帮忙。

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Answer 1

分享一种解法。∵sinxcos2x=(sin3x-sinx)/2，且被积函数是偶函数，
∴原式=(1/4)[∫(-∞,∞)xsin3xdx/(1+x²)-∫(-∞,∞)xsinxdx/(1+x²)]。
设f(z)=ze^(imz)/(1+z²)(m=3,1)。由柯西积分定理，有[∫(-∞,∞)xsinmxdx/(1+x²)= Im[xe^(imx)dx/(1+x²)]=Im(2πi)∑Res[f(z),zk]。
而，f(z)在上半平面仅有一个一阶极点z=i。∴m=3时，Res[f(z),zk]=ie^(-3)/(2i)；m=1时，Res[f(z),zk]=ie^(-1)/(2i)，
∴原式=π(1/e³-1/e)/4。
供参考。