Question

高数问题急用

求解

Answer 1

∵由题设知，x＜1.∴1-x＞0.又此时恒有e^x＞0.∴0＜e^x≤1/(1-x).<==>0＜(1-x)×e^x≤1.构造函数f(x)=(1-x)e^x，(x＜1).求导得f'(x)=-e^x+(1-x)e^x=-xe^x.易知，当x＜0时，f'(x)=-xe^x＞0.当0＜x＜1时，f'(x)=-xe^x＜0.===>在(-∞,0)上，函数f(x)递增，在(0,1)上，函数f(x)递减，∴f(x)max=f(0)=1.即当x＜1时，恒有f(x)≤f(0)=1.===>(1-x)e^x≤1.∴当x＜1时，有e^x≤1/(1-x).等号仅当x=0时取得。证毕。