Question

在正十边形的10个顶点中，任取4个点，则以这4个点为顶点的四边形为梯形的概率为______

Answer 1

每种形状的梯形有10个不同的位置(梯形的某一个顶点可以在10个点中的任意一点)
考虑两腰顶点间间隔的点的个数,只可能间隔0,1,2三种可能(间隔3个就是矩形)
间隔0个,剩余6个点,分配到上下底,可能的情况有(0,6),(1,5),(2,4)这3种
间隔1个,剩余4个点,分配到上下底,可能的情况有(0,4),(1,3)这2种
间隔2个,剩余2个点,分配到上下底,可能的情况有(0,2)这1种
∴总的梯形形状有1+2+3=6种可能,
出现梯形的总可能数为6*10=60
总的可能有
c(10)(4)=210
∴出现梯形的比例
60/210=2/7

Answer 2

设正十边形为A1A2…A10，
以A1A2 为底边的梯形有A1A2A3A10、A1A2A4A9、A1A2A5A8共3个．
同理分别以A2A3、A3A4、A4A5、…、A9A10、A10A1为底边的梯形各有3个，
这样，合计有30个梯形．
以A1A3为底边的梯形有A1A3A4A10、A1A3A5A9共2个．
同理分别以A2A4、A3A5、A4A6、…、A9A1、A10A2为底边的梯形各有2个，
这样，合计有20个梯形．
以A1A4为底边的梯形只有A1A4A5A101个．同理分别以A2A5、A3A6、A4A7、…、A9A2、
A10A3为底边的梯形各有1个，这样，合计有10个梯形．
所以，所求的概率
P=
30+20+10
C
4
10
=
2
7
，
故答案为：
2
7
．