Question

过抛物线y^2=x的顶点O 作两条相互垂直的弦OA,OB ，（1）求证直线AB必过点(1,0)；（2）求AOB的面积的最小

Answer 1

（1）设A(a^2,a),B(b^2,b)
因为弦OA,OB互相垂直
所以向量OA点乘向量OB等于0
（a^2,a）.（b^2,b）=0
a^2*b^2+ab=0
解得ab=-1
已知A,B两点的坐标，则
AB直线的方程可以表示为：
y=1/(a+b)(x-ab)
所以直线AB必过点（1，0）
（2）S=1/2*OA*OB
OA=|a|根号下（1+a^2）
OB=|b|根号下（1+b^2）
代入得S=1/2*|ab|*根号下(1+a^2)(1+b^2)
ab=-1
由上一问知
(1+a^2)(1+b^2)=a^2+b^2+a^2*b^2+1=a^2+b^2+2
利用基本不等式|a|^2+|b|^2>=2|ab|=2
所以(1+a^2)(1+b^2)min=2+2=4
S的最小值为1/2*1*根号下4=1

Answer 2

简单计算一下，详情如图所示