Question

不定积分定义的问题

Answer 1

不定积分概念
在微分学中我们已经知道，若物体作直线运动的方程是s=f(t)，
已知物体的瞬时速度v=f(t)，要求物体的运动规律s=f(t)。这显然是从函数的导数反过来要求“原来函数”的问题，这就是本节要讨论的内容。
定义1
已知f(x)是定义在某区间上的函数，如果存在函数f(x)，使得在该区间内的任何一点都有：
那么在该区间内我们称函数f(x)为函数f(x)的原函数。
当然，不是任何函数都有原函数，在下一章我们将证明连续函数是有原函数的。假如f(x)有原函数f(x)，那么f(x)+
c也是它的原函数，这里c是任意常数。因此，如果f(x)是原函数，它就有无穷多个原函数，而且f(x)+
c包含了f(x)的所有原函数。
事实上，设g(x)是它的任一原函数，那么
根据微分中值定理的推论，
h(x)应该是一个常数c，于是有
g(x)=
f(x)+
c
这就是说，f(x)的任何两个原函数仅差一个常数。
定义2
函数f(x)的全体原函数叫做f(x)的不定积分，记作
其中∫叫积分号，f(x)叫做被积函数，f(x)
dx叫做被积表达式，x叫做积分变量。
如果f(x)是f(x)的一个原函数，则由定义有
其中c是任意常数，叫做积分常数。
求原函数或不定积分的运算叫做积分法。

Answer 2

"函数f(x)在某区间内的原函数全体称为函数f(x)或微分f(x)dx在该区间内的不定积分"中，其实第一个f(x)和第二个f(x)的含义是不同的,而第三个则与第一个相同.
我稍微改一改题目,或许你会更清楚:
"函数f(x)在某区间内的原函数全体称为函数F(x)或微分f(x)dx在该区间内的不定积分"
其中函数f(x)是函数F(x)的导数.不定积分是"已知导数f(x),求原函数F(x)"的运算(即求导的逆运算).
至于为什么会出现微分,是因为不定积分是针对微分的.不过,求微分和求导原理完全一样,只不过微分答案中多了个dx(其实就是求导中省略的△x).
不定积分的格式为
F(x)+c=∫
f(x)dx
(其中c是常数,F(x)是F(x)+c的一个特例)
从中可以明确看出不定积分是针对微分的.