Question

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°）

Answer 1

(1)
已知AB=AC，∠BAC=α
所以，∠ABC=∠ACB=(180°-α)/2=90°-(α/2)
已知∠CBD=60°
所以，∠ABD=∠ABC-∠CBD=[90°-(α/2)]-60°=30°-(α/2)
(2)
连接CD、AD
已知BD=BC，∠CBD=60°
所以，△BCD为等边三角形
所以，BD=CD，∠BCD=∠CBD=60°
则，∠ABD=∠ACD
已知AB=AC
所以，△ABD≌△ACD（SAS）
所以，∠BAD=∠CAD
即，AD为等腰△ABC顶角平分线
所以，AD垂直平分BC
(3)
如图，连接AD、CD
已知△ABE为等边三角形，则：∠ABE=60°，AB=EB
由前面(2)证明知，△BCD为等边三角形
则，∠DBC=60°，BD=BC
所以，∠ABD=∠EBC=60°-∠DBE
那么，△ABD≌△EBC（SAS）
所以，AD=CE；∠ADB=∠ECB
由(2)证明知∠ADC=∠ADB
而，∠ADC+∠ADB+∠BDC=360°
===>
2∠ADB+60°=360°
===>
∠ADB=150°
那么，∠ECB=150°
而∠BCD=60°
所以，∠DCE=150°-60°=90°
即，△DCE为直角三角形
那么，CE^2+CD^2=DE^2
即，AD^2+BD^2=DE^2.