Question

已知数列{a n }中a 1 =1， a n+1 = a n 2 a n +1 （n∈N + ）．（1）求证：数列 {

已知数列{a n }中a 1 =1， a n+1 = a n 2 a n +1 （n∈N + ）． （1）求证：数列 { 1 a n } 为等差数列； （2）设b n =a n ?a n+1 （n∈N + ），数列{b n }的前n项和为S n ，求满足 S n ＞ 1005 2012 的最小正整数n．

Answer 1

（1）证明：由a
1
=1与
a
n+1
=
a
n
2
a
n
+1
得a
n
≠0，
1
a
n+1
=
2
a
n
+1
a
n
=2+
1
a
n
，
所以对?n∈N
+
，
1
a
n+1
-
1
a
n
=2
为常数，
故
{
1
a
n
}
为等差数列；
（2）由（1）得
1
a
n
=
1
a
1
+2(n-1)=2n-1
，
b
n
=
a
n
?
a
n+1
=
1
(2n-1)(2n+1)
=
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)
，
所以
S
n
=
b
1
+
b
2
+…+
b
n
=
1
2
(1-
1
3
)+
1
2
(
1
3
-
1
5
)+…+
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)
=
1
2
(1-
1
2n+1
)
=
n
2n+1
，
由
S
n
＞
1005
2012
即
n
2n+1
＞
1005
2012
，得
n＞
1005
2
=502
1
2
，
所以满足
S
n
＞
1005
2012
的最小正整数n=503．