Question

已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y...

已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，m∈R （1）直线l是否过定点，有则求出来？判断直线与圆的位置关系及理由？ （2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程．

Answer 1

解：（1）由（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，m∈R得：
（x+y-4）+m（2x+y-7）=0，
∵m∈R，
∴x+y-4=02x+y-7=0得x=3y=1，
故l恒过定点A（3，1）；
又圆心C（1，2），
∴|AC|=22+12=5＜5（半径）
∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交．
（2）∵弦长的一半、该弦弦心距、圆的半径构成一个直角三角形，
∴当l⊥AC（此时该弦弦心距最大），直线l被圆C截得的弦长最小，
∵kAC=-12，
∴直线l的斜率kl=2，
∴由点斜式可得l的方程为2x-y-5=0．