Question

龙格——库塔（Rungekutta）法求解常微分方程

Answer 1

对于微分方程

通常所说的龙格-库塔法是指四阶而言的，我们可以仿二阶、三阶的情形推导出常用的标准四阶龙格-库塔法公式

在各种龙格－库塔法当中有一个方法十分常用，以至于经常被称为“RK4”或者就是“龙格－库塔法”。该方法主要是在已知方程导数和初值信息，利用计算机仿真时应用，省去求解微分方程的复杂过程。 [1]

令 初值问题 表述如下。

则，对于该问题的RK4由如下方程给出：

其中

这样，下一个值（ y n +1 ）由现在的值（ y n ）加上时间间隔（ h ）和一个估算的斜率的乘积所决定。该斜率是以下斜率的加权平均：

当四个斜率取平均时，中点的斜率有更大的权值：

RK4法是四阶方法，也就是说每步的误差是 h 阶 ，而总积累误差为 h 阶。

注意上述公式对于标量或者向量函数（ y 可以是向量）都适用。

显式龙格－库塔法是上述RK4法的一个推广。它由下式给出 [1]

其中

（注意：上述方程在不同著述中有不同但却等价的定义）。

要给定一个特定的方法，必须提供整数 s （级数），以及系数 a ij （对于1 ≤ j < i ≤ s ）, b i （对于 i = 1, 2, ..., s ）和 c i （对于 i = 2, 3, ..., s ）。

龙格库塔法是自洽的，如果

如果要求方法的精度为 p 阶，即截断误差为O( h )的，则还有相应的条件。这些可以从截断误差本身的定义中导出。例如，一个2级2阶方法要求 b 1 + b 2 = 1, b 2 c 2 = 1/2, 以及 b 2 a 21 = 1/2。

RK4法处于这个框架之内。其表为：

0
1/2 1/2
1/2 0 1/2
1 0 0 1
_ 1/6 1/3 1/3 1/6

然而，最简单的龙格-库塔法是（更早发现的）欧拉方法，其公式为

。这是唯一自洽的一级显式龙格库塔方法。相应的表为：

0
_ 1

以上提及的显式龙格库塔法一般来讲不适用于求解刚性方程。这是因为显式龙格库塔方法的稳定区域被局限在一个特定的区域里。显式龙格库塔方法的这种缺陷使得人们开始研究隐式龙格库塔方法，一般而言，隐式龙格库塔方法具有以下形式：

其中

在显式龙格库塔方法的框架里，定义参数

的矩阵是一个下三角矩阵，而隐式龙格库塔方法并没有这个性质，这是两个方法最直观的区别：

需要注意的是，与显式龙格库塔方法不同，隐式龙格库塔方法在每一步的计算里需要求解一个线性方程组，这相应的增加了计算的成本。