Question

高一数学·急求！！！！

已知定义域为R的函数y=f(x)满足:
(1)f(x+y)=f(x)×f(y)对任何x,y都成立,
(2)对于任何不相当的实数x1,x2均有f(x1)≠f(x2)
求证:(1)f(0)=1 (2)f(x)>0

Answer 1

(1)因为f(x+y)=f(x)+f(y),所以有f(X)=f(X)×F(O),所以f(0)=1.
(2)因为f(x1)≠f(x2),所以f（x）为单调函数，可能单调递减，也可能单调递增。
因为f（0）=1，所以①单调递减时，有x<0,y>0;②单调递增时，有x>0,y>0.
又因为f(0）=f(x)×f(-x)=1,x与-x一个大于0，一个小于0，不管递增还是递减，总有f(x)或f(-x）大于0，因为f(x)×f(-x)=1>0,所以f(x)>0,f(-x）>0.
对与全体实数x,f(x)>0.

Answer 2

证明：
（1）：令x=0
代入f(x+y)=f(x)×f(y)得：
f(0)=f(0)*f(y)
y是变量所以f(0)=1
(2):有条件2可以知道，该函数为单调函数
由于f(0)=1>0.可知f(x)必有大于零的项
若存在f(x1)＝0，则任取y有：
f(x1+y)=f(x1)*f(y)
f(x1+y)=0
则与条件2矛盾
所以不存在x使f(x)=0
因为f(x)单调
所以也不存在f(x)<0
综上所述：f(x)>0

Answer 3

令x=1,y=0所以f（1+0）=f（1）×f(0),即f（1）=f（1）×f(0)
又因为f(x+y)=f(x)×f(y)对任何x,y都成立，f(1)≠f(0)
只能f(1)≠0 [若f(1)=0,当y=1时就不能恒成立了】
所以f(0)=1

令x=y=a/2，则f（a）=f（a/2)的平方
将a代换成x
则有f（x）=f（x/2)的平方 (不小于零）
【若f（x）=0，则f（x/2)=0，
又因为对于任何不相当的实数x1,x2均有f(x1)≠f(x2)
所以x=x/2，x=0
与f(0)=1矛盾】
所以f（x/2)=0不为零，而f（x）=f（x/2)的平方只能大于零

Answer 4

1:f(x+y)=f(x)×f(y)
令xy均为0，有f（0)=f(0)×f(0)，得f(0)=1或0，
再令x=1，y=0，有f(1)=f(1)×f(0)，
因x≠y，f(1)≠f(0) ，故f(1)=f(1)×f(0)≠f(0)，
得f(0)=1

2：f(x+y)=f(x)×f(y)，又f(x1)≠f(x2），f(x+y)=f(x)×f(y)≠0
令xy为m/2，有f(m)=f(m/2)×f(m/2)，（m≠0）
故f（m）>0
当m=0，以求f(0)=1，
有f(x)>0

Answer 5

你答案有问题吧？下面是我算的。

解:
⑴
f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0)
即f(0)=2f(0)
所以f(0)=0

⑵因为“对于任何不相等的实数x1,x2均有f(x1)≠f(x2) ”，所以f(x)为过原点的单调递增函数。当x>0时，f(x)>0