Question

9.已知关于xyz的方程 |x|+|y|+|z|=5, 则该方程有多少组整数解?

Answer 1

z=5、z=-5各有1组{x, y}={0, 0}，共2组，
z=4、z=-4各有4*1=4组{x, y}={1, 0}，{-1, 0}，{0, 1}，{0, -1}，共8组，
z=3、z=-3各有4*2=8组{x,y}={2,0}, {-2,0}, {1,1}, {-1,1}, {1,-1}, {-1,-1}, {0,2}, {0,-2}，共16组，
z=2、z=-2各有4*3=12组{x,y}={3,0}, {-3,0}, {2,1}, {-2,1}, {2,-1}, {-2,-1}, {1,2}, {-1,2}, {1,-2} {-1,-2}, {0,3}, {0,-3}, 共24组，
z=1、z=-1各有4*4=16组, 共32组，
z=0有4*5=20组，
2+8+16+32+20=78

Answer 2

(0，0，5)，(0，5，0)，(5，0，0)
(0，0，-5)，(0，-5，0)，(-5，0，0)
(1，1，3)，(1，3，1)，(3，1，1)，都是正负的也可以。
(1，2，2)，(2，1，2)，(2，2，1)，有正有负都可以。

Answer 3

设u=|x|+1,v=|y|+1,w=|z|+1,则
u+v+w=8,
其正整数就的个数=C(7,2)=21个，
即关于|x|,|y|,|z|的自然数解有21个：
（|x|,|y|,|z|）=(0,0,5),(0,1,4),(0,2,3),(0,3,2),(0,4,1),(0,5,0),6个；
(1,0,4),(1,1,3),(1,2,2),(1,3,1),(1,4,0),5个；
（2，*，*）4个；
……
（5,0,0），1个，
（x,y,z）的整数解对应的个数=20+8*4+8*3+8*2+8+2
=8*10+22=102.

Answer 4

设 u＝|x|，v＝|y|，w＝|z|，
u＋v＋w＝5 的非负整数解有
C₇²＝7×6÷2＝21 组，
其中含一个 0 的有 3×4＝12 组，
含两个 0 的有 3 组，
不含 0 的有 21－12－3＝6 组，
所以原方程的整数解有
12×2²＋3×2¹＋6×2³＝102 组。