Question

抽象函数的单调性

已知函数f(x)定义域是x≠0的一切实数，对定义域内任意的x1、x2都有
f(x1×x2)=f(x1)+f(x2)，且当x＞1时f(x)＞0,f(2)=1
求证：f（x）是偶函数，（2）f（x）在0到正无穷上是增函数

Answer 1

　　我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数。由于这类问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解，同时抽象函数问题又将函数的定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性和图象集于一身，所以在高考中不断出现；
　　一般形式
　　不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数即抽象函数。一般形式为y=f(x)，或许还附有定义域、值域等，如： y=f(x), (x>0, y>0)。
　　证明
　　例题：f(xy)=f(x)+f(y),f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增，f(2)=1。求证：f(x)=lgx/lg2即以二为底x的对数。
　　证明：定义域：相同
　　∵f(2*1)=f(2)+f(1)∴f(1)=0
　　∵f(1)=f(2)+f(1/2)∴f(1/2)=-1同理f(1/x)=-f(x)
　　∵f(x^k)=f(x*x*……*x*x)【k个x】=f(x)+f(x)+……+f(x)+f(x)【k个】=k*f(x),k∈Z且k>0(x=2时f(x^k)=k) ①
　　f(x^k)=f((1/x)^(-k))=f((1/x)*(1/x)*……*(1/x)*(1/x))【-k个x】=f(1/x)+f(1/x)+……+f(1/x)+f(1/x)【-k个】=(-k)*f(1/x),k∈Z且k<0（x=2时，f(x^k)=-k*f(1/2)=k）
　　f(x^0)=f(1)=0=0*f(x)(x=2时，f(x^k)=k=0)
　　∴f(2^k)=k,k∈Z②
　　∵p*f(2^(1/p))=f((2^(1/p))^p)=f(2^(1/p*p))=f(2)=1,k<>0且p∈Z(①)
　　∴f(2^(1/p))=1/p,p∈Z且p<>0
　　又∵② ∴f(2^(k/p))=f((2^(1/p))^k)=k*f(2^(1/p))=k*(1/p)*f(2)=k/p即f(2^m)=m对所有有理数成立 ③
　　任取z∈R，{1}若f(2^z)<z,z必定为f(y),y>2^z(由于单调性以及③)，
　　在(2^z,y)上必定有q=2^(z+n),z+n为有理数，n>0,
　　f(q)=z-n<f(y)=z(单调性)与n>0矛盾，导出矛盾所以f(2^z)<z不成立
　　{2}同理f(2^z)>z不成立
　　又∵2^z>0，有定义域
　　所以f(2^z)=z
　　令x=2^z>0,f(x)=z=以二为底2^z的对数=以二为底x的对数
　　证毕。（若没有单调性要先证单调性）
　　

Answer 2

抽象函数的单调性

Answer 3

一般我们解题时
可以先考虑我们学习过与本题目相似的函数的函数,比如本题可以考虑对数函数,帮助我们解决问题,猜测出结论再做,总要方便一些的
f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0,又f(1)=f(a)+f(1/a)=0
令x>0,a>1那么ax>x,f(a)>0,f(ax)=f(x)+f(a)>f(x),即自变量比较大的,其函数值也比较大,所以f(x)在(0,+∞)上单增
又f(1)=f(-1)*f(-1)=0所以f(-1)=0,
那么f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x)即函数是偶函数
因为f(2)=1,所以f(4)=f(2)+f(2)=2
f(2x^2-1)＜2即-4<2x^2-1<4并且不等于0(因为是偶函数,在(0,+∞)上单增
)
解得x^2<5/2且x^2不等于1/2,所以不等式：f(2x^2-1)＜2
的解集是(-1/2倍根号10,-1/2倍根号2)并(-1/2倍根号2,1/2倍根号2)并(1/2倍根号2,1/2倍根号10)

Answer 4

1。
f(1)=f(1)+f(1)=f(-1)+f(-1)
so f(1)=f(-1)=0
so f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x) 得证

2。
设x1大于x2大于0 则有x1=nx2 n大于1
f(x1)-f(x2)=f(nx2)-f(x2)=f(n)大于0 得证