Question

[线代]线性代数的几个问题

1，a1T=(1,1,1) 非零向量a2,a3使a1,a2,a3两两正交，即x1+x2+x3=0
得出基础解系 ξ1T=（1，0，-1） ξ2T=（0，1，-1）这个是怎么得出的？请详细点。

2，求基础解系时，得出x1=-x3,x2=0 有基础解系（-1，0，1）T，为什么x1=-1而x3一定为+1？反过来不是一样吗？

3，矩阵A求特征向量时代入“入”的值，得出x1=x2,特征向量“可取”
p1=(1,1)T ,一个矩阵的特征向量不是唯一的？随便取？

4，I P^-1 I I A-入E I I P I=I A-入E I 为什么啊？那不是P^-1 A P=A?

5,f(入)是A的特征多项式，则f(A)=O,证明中P^-1 A P=∧=diag（入1，...入n） 有f(A)=Pf(∧)P^-1=POP^-1=O,这个POP^-1中的O是怎么来的？diag（入1，...入n）并不等于O啊？
第5题：没有什么表明有入i使f(入i)=0啊？？

Answer 1

第一题
是找这样两个向量，你要问怎么找的吗？
就把要找的两个向量设出来，然后建立方程组，解方程就好了啊
具体点就是找向量X，使得a1*X=0（a1是行向量，X是列向量）
（这里你要知道，两个向量正交，就是内积为零，也就是第一个向量写成行向量，第二个向量写成列向量，然后相乘=0）
所以解这个关于X的方程组就可以了，这个方程组秩为1，所以有两个无关解。解出来就行了。

第二题，可以，只要x3随便取个非零数就行了

第三题，如果一个向量是特征向量，那么和这个向量线性相关的向量都是同一个特征值的特征向量啊。
因为若：AX=入X, 那么 A(aX)=aAX=a入X=入(aX)
所以aX也是特征向量

第四题，因为逆矩阵的行列式，就是原矩阵行列式的倒数啊。
证明：det(P)*det(P-1)=det(P*P-1)=det(E)=1
（利用了矩阵的积的行列式=矩阵的行列式的积）
第五题，f(入)是A的特征多项式，所以每个特征值入i都是f的根。
所以f(入i）=0
而根据对角矩阵的优良性质，f(∧)=diag（f(入1)，...(入n)）=diag（0..,0)=0
就是这么来的

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补充最后一个问题的回答：
f(入i)=0是因为，入i是特征根，特征根就是特征多项式的根啊！
f是特征多项式，所以入i就是f的根。那当然代入之后等于0了。所以f(入i)=0喽。。。

Answer 2

1.基础解系的求法是：将自由变量移到等号的右边，然后自由变量一个取1，其余的取0.比如x1+x2+x3=0则x3=-x1-x2，取x1=1,x2=0则x3=-1得ξ1T=（1，0，-1），取x1=0，x2=1则x3=-1得
ξ2T=（0，1，-1）。
2.（1，0，-1）也行。事实上只要满足x1+x2+x3=0的2个线性无关的向量都是基础解系。
3.特征向量当然不唯一。只要满足x1=x2就是对应特征值的特征向量。
4.矩阵的行列式是一个数!乘法可以交换。|P^-1 ||A-入E||P|=|A-入E||P^-1 ||P|=|A-入E||E|=|A-入E|。|A|=|B|，A并不一定等于B。所以P^-1 A P=A不一定成立。
5.f(∧)=diag（f(入1)，...(入n)）=diag（0..,0)=0
f(入)是A的特征多项式，每个特征值入i都是f的根，f(入i）=0

Answer 3

这是高中的吗