Question

关于一元二次方程根与系数的关系

1.如果2x^2-mx-4＝0的两个根分别是x1、x2，且1/x1+1/x2＝2，那么实数m的值是？

2.如果2x^2-5x-4＝0的两个根分别是贝塔和阿尔法，那么贝塔+阿尔法+贝塔*阿尔法＝？

3.已知关于x的方程x^2-6x+p^2-2p+5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p的值？（两个方法）

4.当m是什么值时，方程8x^2-（m-1）x+m-7＝0
（1）二根互为倒数？
（2）二根互为相反数？
（3）一根为零？

Answer 1

2x^2-mx-4＝0
x1+x2=m/2
x1x2=-2
1/x1+1/x2=(x1+x2)/(x1x2)=2
(m/2)/(-2)=2
m=-8

2x^2-5x-4＝0
α+β=5/2
αβ=-2
α+β+αβ=5/2-2=1/2

方法一
x^2-6x+p^2-2p+5＝0的一个根是2
4-12+p^2-2p+5=0
p^2-2p-3=0
(p-3)(p+1)=0
p=3,p=-1
p^2-2p+5=8
x^2-6x+8=0,(x-2)(x-4)=0,另一根x=4
方法二
由韦达定理
2+x2=6
所以另一根x2=4
则2*4=p^2-2p+5
p^2-2p-3=0
(p-3)(p+1)=0
p=3,p=-1

8x^2-（m-1）x+m-7＝0
有两根
(m-1)^2-32(m-7)>=0
m^2-34m+225>=0
(m-25)(m-9)>=0
m>=25,m<=9
（1）二根互为倒数
x1*x2=1
(m-7)/8=1
m=15
不符合m>=25,m<=9
所以无解

（2）二根互为相反数
x1+x2=0
(m-1)/8=0
m=1

（3）一根为零？
x1*x2=0
(m-7)/8=0
m=7

Answer 2

（1）m=8
根据方程得x1+x2=-m/2,x1x2=-2
因为1/x1+1/x2=2,可将它通分得（x1+x2）/x1x2=2
由此得m=8
（2）跟上一题一样
由方程知道贝塔+阿尔法=-5/2,βα=-2，他们的和就是-9/2
(3)由方程知2+另一个根=6
所以另一个根是4
p^2-2p+5=2*4=8
解得p=-1或3
（4）当两根互为倒数的时候，它们乘积为1，即（m-7）/8=1得m=15
互为相反数的时候，相加为0
即（m-1）/8=0
得m=1
一个根为0，则m-7=0得m=7
终于打完了，题很简单，就是打出来麻烦死了！