Question

若定义在R上的函数f(x)满足f(m+n)=f(m)+2[f(n)]^2 ,其中m,n属于R,f(1)≠0 则f(100)=?

若定义在R上的函数f(x)满足f(m+n)=f(m)+2[f(n)]^2 ,其中m,n属于R,f(1)≠0 则f(100)=?

Answer 1

f(2) = f(1+1) = f(1) + 2f(1)^2
f(3) = f(2+1) = f(2) + 2f(1)^2 = f(1) + 4f(1)^2

f(3) = f(1+2) = f(1) + 2f(2)^2 = 8f(1)^4 + 8f(1)^3 + 2f(1)^2 + f(1)
8f(1)^4 + 8f(1)^3 + 2f(1)^2 + f(1) = f(1) + 4f(1)^2
4f(1)^2 + 4f(1) - 1 = 0，解得f(1) = -1±√2
2f(1)^2 = 3±2√2
所以f(100) = f(1) + 99*2f(1)^2 = 296 ± 197√2

追问

答案是 50 ...

Answer 2

若定义在R上的函数f(x)满足f(m+n)=f(m)+2[f(n)]^2 ,其中m,n属于R,f(1)≠0 则f(100)=?

解析：∵定义在R上的函数f(x)满足f(m+n)=f(m)+2[f(n)]^2,其中m,n属于R,f(1)≠0
设n=0，则函数f(x)满足f(m+0)=f(m)+2[f(0)]^2==>f(0)=0
设m=0,n=1，则函数f(x)满足f(0+1)=f(0)+2[f(1)]^2==>2[f(1)]^2-f(1)=0==>f(1)=1/2
设n=1，则函数f(x)满足f(m+1)=f(m)+2[f(1)]^2
构造数列{f(m)}(m∈N*)
可见，数列{f(m)}是首项为1/2，公差为1/2的等差数列
∴f(100)=1/2+99*1/2=50

Answer 3

楼上的思路是对的 只是计算错了 计算出来F1=0.5