Question

设A,B为n阶方阵,若AB=A+B,证明:A-E可逆,且AB=BA.这题怎样做啊??????

Answer 1

因为AB=A+B;(A-E)(B-E)=E,所以A-E可逆AB=A+B;......AB-A=B.....A(B-E)=B,两边乘以A-EA(B-E)(A-E)=B(A-E)然后同时减去A得出：A(B-E)(A-E)-A=B(A-E)-A=BA-A-B化简得出：A[BA-A-B+E-E]=A(BA-A-B)=BA-A-B移项得出：(A-E)(BA-A-B)=0因为A-E可逆，所以det(A-E)≠0此时只有BA-A-B=0即BA=A+B,又因为题目中AB=A+B,所以AB=BA记得采纳哦~~

Answer 2

解：首先由AB=A+B知(A-E)(B-E)=E，从而A-E可逆
再由(A-E)(B-E)=E=(B-E)(A-E)，知AB=BA满意请及时采纳，谢谢！