Question

(2013长沙)如图,△ABC中,以AB为直径的圆交AC于点

（2013•长沙）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，∠DBC=∠BAC．

（1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为2，∠BAC=30°，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

（1）因为∠ADB=90°（直角上的圆周角等于直角），∴∠BDC=90°。
在△ABC和△BDC中，∠DBC=∠BAC(已知)，∠C=∠C，∴∠ABC=∠BDC=90°，
∴AB⊥BC，∴BC是⊙O的切线。
（2）若⊙O的半径为2，∠BAC=30°,求图中阴影部分的面积。
∵∠BAC=30°，∴∠BOD=60°（圆心角等于圆周角的2倍）。
扇形OBD面积=（2x2xπ）/（360°/60°）=4π/6=2π/3.
△OBD面积=2x√(4-1)/2=√3
阴影部分面积=2π/3-√3≈2.093-1.732=0.361.

追问

求阴影面积只有唯一解法么？

追答

唯不唯一我不知道。。你有其他思路可以说出来一起讨论啊。

Answer 2

⑴∵AB为⊙O的直径，
∴∠BAC＋∠ABD＝90º，
又∠DBC＝∠BAC，
∴∠DBC＋∠ABD＝90º，
即∠ABC＝90º，
∴BC是⊙O的切线；
⑵连结OD，由∠BAC＝30°，
∴S阴影＝S扇形OBD－S⊿OBD
＝2/3π－√3。

Answer 3

已知的Dbc和BAC两角相等再加上C角三角形CDB与CBA相似，所以角ADB与角ABC相等等于90度，所以为切线
第二问，链接OD角A30度所以AOD为120度，所以角bOD为60度，求出扇形ODB面积和三角形OBD面积，相减即得