如图,已知在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D是边AB上的一点 AE⊥AB且AE=BD，DE与AC相交于点F。
解：AC=BC=1， AB=根号下2，
（1） 当AF=EF时，如图
∠EAF=∠AEF=45度， ∠AFE=90度，
∠EAD=90度，∠ADE=45度，AE=AD=BD，AE=（1/2）AB=（根号下2）/2 。
（2）当AE=AF时，如图
过点D作DG平行于BC交AC于，过点F作FH⊥AB于点H，∠FAH=45度，FH=AH，
∠EAF=45度，∠AED=（180度-45度）/2=67.5度,
∠ADF=180度-90度-67.5度=22.5度,
∠ADG=∠ABC=45度, ∠ADF=(1/2)∠ADG, DF是∠ADG的角平分线，
GF=FH=AH（角平分线上一点到角两边距离相等，等腰三角形腰相等），
令AE=x, GC/AC=BD/AB，GC= x / (根号下2），AF=AE=x,
GF=AC-GC-AF=1-x / (根号下2）-x,
在Rt△AHF中，AF^2=AH^2+FH^2=2GF^2,
即：
（3）当AE=EF时，如图
∠EAF=∠EFA=45度，∠AEF=90度，DE⊥AE，AE⊥AB，DE//AB，这与“D 是AB上一
点”矛盾，所以“△AEF不可能是以AE、EF为腰的等腰三角形“。
综合（1）、（2）和（3），AE的长度为 “（根2）/2 “ 或 ”1 “ 或 ”（ 根2）-1”。
