Question

如图：已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，点D是AB上任意一点，AE⊥AB，且AE=BD，DE与AC相交于点F．（1

如图：已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，点D是AB上任意一点，AE⊥AB，且AE=BD，DE与AC相交于点F．（1）试判断△CDE的形状，并说明理由．（2）是否存在点D，使AE=AF？如果存在，求出此时AD的长，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）△CDE是等腰直角三角形．理由如下：
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠B=∠BAC=45°，
∵AE⊥AB，
∴∠CAE=90°-45°=45°，
∴∠B=∠CAE，
在△ACE和△BCD中，

AE＝BD ∠B＝∠CAE AC＝BC

，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴CD=CE，∠ACE=∠BCD，
∵∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°，
∴∠DCE=∠ACD+∠ACE=90°，
∴△CDE是等腰直角三角形；


（2）存在AD=1．理由如下：
∵AE=AF，∠CAE=45°，
∴∠AEF=∠AFE=

1

2

（180°-45°）=67.5°，
∴∠ADE=90°-67.5°=22.5°，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDE=45°，
∴∠ADC=22.5°+45°=67.5°，
在△ACD中，∠ACD=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠ACD=∠ADC，
∴AD=AC=1．