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各项均为正数的数列{an},满足a1=1,a^2右下标(n+1)-a^2右下标n=2,n∈N)。求:(1)数列{an}的通项公式(2)数列{a^2右下标n/2^n}的前项...
各项均为正数的数列{an},满足a1=1,a^2右下标(n+1)-a^2右下标n=2,n∈N)。求:
(1)数列{an}的通项公式
(2)数列{a^2右下标n/2^n}的前项和Sn
应为(2)数列{a^2右下标n/2^n}的前n项和Sn 展开
(1)数列{an}的通项公式
(2)数列{a^2右下标n/2^n}的前项和Sn
应为(2)数列{a^2右下标n/2^n}的前n项和Sn 展开
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a²(n+1)-a²n=2
因此,{a²n}是公差为2的等差数列
a²n=a²1+2(n-1)=2n-1
an=√(2n-1)
a²n/2^n=(2n-1)/2^n
Sn=1/2+3/2^2+5/2^3+...+(2n-1)/2^n
2Sn=1/2^2+3/2^3+5/2^4+...+(2n-1)/2^(n+1)
2Sn-Sn=1/2^2+3/2^3+5/2^4+...+(2n-1)/2^(n+1)-[1/2+3/2^2+5/2^3+...+(2n-1)/2^n]
Sn=(2n-1)/2^(n+1)-1/2-[1/2^1+1/2^2+...+1/2^(n-1)]
=(2n-1)/2^(n+1)-1/2-(2-1/2^n)
=(2n+1)/2^(n+1)-5/2
因此,{a²n}是公差为2的等差数列
a²n=a²1+2(n-1)=2n-1
an=√(2n-1)
a²n/2^n=(2n-1)/2^n
Sn=1/2+3/2^2+5/2^3+...+(2n-1)/2^n
2Sn=1/2^2+3/2^3+5/2^4+...+(2n-1)/2^(n+1)
2Sn-Sn=1/2^2+3/2^3+5/2^4+...+(2n-1)/2^(n+1)-[1/2+3/2^2+5/2^3+...+(2n-1)/2^n]
Sn=(2n-1)/2^(n+1)-1/2-[1/2^1+1/2^2+...+1/2^(n-1)]
=(2n-1)/2^(n+1)-1/2-(2-1/2^n)
=(2n+1)/2^(n+1)-5/2
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