Question

数学高手请帮忙

各项均为正数的数列｛an｝,满足a1=1,a^2右下标（n+1）-a^2右下标n=2,n∈N)。求:
（1）数列{an}的通项公式
（2）数列｛a^2右下标n/2^n｝的前项和Sn
应为（2）数列｛a^2右下标n/2^n｝的前n项和Sn

Answer 1

a²(n+1)-a²n=2
因此，{a²n}是公差为2的等差数列
a²n=a²1+2(n-1)=2n-1
an=√(2n-1)

a²n/2^n=(2n-1)/2^n
Sn=1/2+3/2^2+5/2^3+...+(2n-1)/2^n
2Sn=1/2^2+3/2^3+5/2^4+...+(2n-1)/2^(n+1)
2Sn-Sn=1/2^2+3/2^3+5/2^4+...+(2n-1)/2^(n+1)-[1/2+3/2^2+5/2^3+...+(2n-1)/2^n]
Sn=(2n-1)/2^(n+1)-1/2-[1/2^1+1/2^2+...+1/2^(n-1)]
=(2n-1)/2^(n+1)-1/2-(2-1/2^n)
=(2n+1)/2^(n+1)-5/2