Question

定义在R上的增函数y=f（x）对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），则

（3）若f（k•3x）+f（3x-9x-2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围． 我求出即有k•3x＜-3x+9x+2，把k倒出来之后怎么变成k≤2根号2-1的

Answer 1

答：
定义在R上的增函数f(x)满足：f(x+y)=f(x)+f(y)
令x=y=0得：f(0)=f(0)+f(0)
解得：f(0)=0
令x+y=0，y=-x：f(0)=f(x)+f(-x)=0
所以：f(-x)=-f(x)
所以：f(x)是R上的奇函数，并且是单调递增函数
因为：
f(k*3^x)+f(3^x-9^x-2)<0（x是指数吧？）
所以：
f(k*3^x)<-f(3^x-9^x-2)=f(9^x-3^x+2)
所以：
k*3^x<9^x-3^x+2
(3^x)^2-(k+1)*(3^x)+2>0恒成立
令3^x=a>0，则：a^2-(k+1)a+2>0恒成立
所以：(k+1)a<a^2+2
所以：k+1<(a^2+2)/a=a+2/a（分离变量）
因为：a+2/a>=2√(a*2/a)=2√2（基本不等式）
所以：a+2/a>=2√2>k+1
解得：k<2√2-1

注意k<=2√2-1是错误的，不能取等号

Answer 2

1）令x=y=0,代入方程得：f(0)=f(0)+f(0),所以有f(0)=0
2) 令y=-x, 代入方程得：f(0)=f(x)+f(-x)
而f(0)=0,所以有f(-x)=-f(x)
所以f(x)为奇函数。
3）f(3x)<-f(x+1)
由奇函数，得：f(3x)<f(-x-1)
由增函数，得：3x<-x-1
解得：x<-1/4

追问

错了

Answer 3

令y=o
f(x+0)=f(x)+f(0)
f(0)=0
f(k*3x+3x-9x-2)<0
(3k+3-9)x-2<0
对于任意x成立
3k-6=0
k=2