Question

如图所示，竖直固定放置的粗糙斜面AB的下端与光滑的圆弧BCD的B点相切，圆弧轨道的半径为R，圆心O与A、D在

如图所示，竖直固定放置的粗糙斜面AB的下端与光滑的圆弧BCD的B点相切，圆弧轨道的半径为R，圆心O与A、D在同一水平面上，∠COB=θ，现有质量为m的小物体从距D点为 Rcosθ 4 的地方无初速的释放，已知物体恰能从D点进入圆轨道．求：（1）为使小物体不会从A点冲出斜面，小物体与斜面间的动摩擦因数至少为多少？（2）若小物体与斜面间的动摩擦因数 μ= sinθ 2cosθ ，则小物体在斜面上通过的总路程大小？（3）小物体通过圆弧轨道最低点C时，对C的最大压力和最小压力各是多少？

Answer 1

（1）为使小物体不会从A点冲出斜面，由动能定理得mg Rcosθ 4 -μmgcosθ Rcosθ sinθ =0 解得动摩擦因数至少为：μ= sinθ 4cosθ （2）分析运动过程可得，最终小物体将从B点开始做往复的运动，由动能定理得 mg（ Rcosθ 4 +Rcosθ）-μmgScosθ=0 解得小物体在斜面上通过的总路程为：S= 5Rcosθ 2sinθ （3）由于小物体第一次通过最低点时速度最大，此时压力最大，由动能定理，得 mg（ Rcosθ 4 +R）= 1 2 mv 2 由牛顿第二定律，得 N max -mg=m v 2 R 解得N max =3mg+ 1 2 mgcosθ 最终小物体将从B点开始做往复的运动，则有 mgR（1-cosθ）= 1 2 mv ′2 N min -mg=m v ′ 2 R 联立以上两式解得N min =mg（3-2cosθ） 由牛顿第三定律，得小物体通过圆弧轨道最低点C时对C的最大压力 N max ′ =3mg+ 1 2 mgcosθ， 最小压力 N min ′ =mg（3-2cosθ）．