（2012?泸州一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD
（2012?泸州一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，O为AD的中点，M是棱PC上的点，PA...
（2012?泸州一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，O为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=12AD=1，CD=3，二面角M-BO-C的大小为30°．（Ⅰ）求证：平面POB⊥平面PAD；（Ⅱ）求直线BM与CD所成角的余弦值；（Ⅲ）求三棱锥D-PMO的体积．
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（Ⅰ）证明∵AD∥BC，BC=
AD，O为AD的中点，
∴四边形BCDO为平行四边形，
∴CD∥BO．
∵∠ADC=90°
∴∠AOB=90° 即OB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD
且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BO⊥平面PAD．
∵BO?平面POB，
∴平面POB⊥平面PAD．
（Ⅱ）∵PA=PD，O为AD的中点，∴PO⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PO⊥平面ABCD．
（不证明PO⊥平面ABCD直接建系扣1分）
如图，以O为原点建立空间直角坐标系．
则平面BOC的法向量为
＝(0，0，1)；O（0，0，0），P(0，0，
)，B(0，
，0)，
C(?1，
，0)．
设M（x，y，z），
则
＝(x，y，z?
)，
＝(?1?x，
| 1 |
| 2 |
∴四边形BCDO为平行四边形，
∴CD∥BO．
∵∠ADC=90°
∴∠AOB=90° 即OB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD
且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BO⊥平面PAD．
∵BO?平面POB，
∴平面POB⊥平面PAD．
（Ⅱ）∵PA=PD，O为AD的中点，∴PO⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PO⊥平面ABCD．
（不证明PO⊥平面ABCD直接建系扣1分）
如图，以O为原点建立空间直角坐标系．
则平面BOC的法向量为
| n |
| 3 |
| 3 |
C(?1，
| 3 |
设M（x，y，z），
则
| PM |
| 3 |
| MC |
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