Question

已知集合A={x|x2+px+q=0}，B={x|qx2+px+1=0}．同时满足：①A∩B≠?，②A∩CuB={-2}，其中p、q均为不等于

已知集合A={x|x2+px+q=0}，B={x|qx2+px+1=0}．同时满足：①A∩B≠?，②A∩CuB={-2}，其中p、q均为不等于零的实数，求p、q的值．

Answer 1

设x₀∈A，则x₀≠0，否则将有q=0与题设矛盾．
于是由

x

2 0

+px0+q＝0，两边同除以

x

2 0

，得q(

1

x0

)2+p

1

x0

+1＝0，
知

1

x0

∈B，故集合A、B中的元素互为倒数．
由①知存在x₀∈A，
使得

1

x0

∈B，且x0＝

1

x0

，
得x₀=1或x₀=-1．
由②知A={1，-2}或A={-1，-2}．
若A={1，-2}，
则B＝{1，?

1

2

}，有

p＝?(1?2)＝1 q＝1×(?2)＝?2.

同理，若A={-1，-2}，则B＝{?1，?

1

2

}，
得p=3，q=2．
综上，p=1，q=-2或p=3，q=2．