Question

已知f（x）=|x+1|+|x-2|+|x+3|+|x-4|+…+|x+2013|+|x-2014|，（x∈R）且f（a2-3a+2）=f（a-1），则a的值

已知f（x）=|x+1|+|x-2|+|x+3|+|x-4|+…+|x+2013|+|x-2014|，（x∈R）且f（a2-3a+2）=f（a-1），则a的值有（　　）A．2个B．3个C．2014个D．无数个

Answer 1

f（x）=|x+1|+|x-2|+|x+3|+|x-4|+…+|x+2013|+|x-2014|的几何意义是
到点-1，2，-3，4，…，-2013，2014的距离之和，
f（-x）=|-x+1|+|-x-2|+|-x+3|+|-x-4|+…+|-x+2013|+|-x-2014|
=|x-1|+|x+2|+|x-3|+|x+4|+…+|x-2013|+|x+2014|的几何意义是
到点1，-2，3，-4，…，2013，-2014的距离之和，
则根据绝对值的几何意义可知f（-x）=f（x），即函数f（x）是偶函数，
若f（a²-3a+2）=f（a-1），
则a²-3a+2=a-1，①或a²-3a+2=-（a-1），②，
由①得a²-3a+2=（a-1）（a-2）=a-1，
即（a-1）（a-3）=0，解得a=1或a=3．
由②得a²-3a+2=（a-1）（a-2）=-（a-1），
即（a-1）（a-1）=0，解得a=1．
综上a=1或a=3，
则a的值有2个，
故选：A