Question

设函数y=f（x）是定义域在R，并且满足f（x+y）=f（x）+f（y）， f( 1 3 )=1 ，且当x＞0时，f（x

设函数y=f（x）是定义域在R，并且满足f（x+y）=f（x）+f（y）， f( 1 3 )=1 ，且当x＞0时，f（x）＞0．（1）求f（0）的值； （2）判断函数的奇偶性；（3）试判断函数的单调性，并求解不等式f（x）+f（2+x）＜2．

Answer 1

（1）令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0 （2）令y=-x，得 f（0）=f（x）+f（-x）=0，∴f（-x）=-f（x），故函数f（x）是R上的奇函数 （3）f（x）是R上的增函数，证明如下： 任取x 1 ，x 2 ∈R，x 1 ＜x 2 ，则x 2 -x 1 ＞0 ∴f（x 2 ）-f（x 1 ）=f（x 2 -x 1 +x 1 ）-f（x 1 ）=f（x 2 -x 1 ）+f（x 1 ）-f（x 1 ）=f（x 2 -x 1 ）＞0 ∴f（x 1 ）＜f（x 2 ） 故f（x）是R上的增函数 ∵ f( 1 3 )=1 ，∴ f( 2 3 )=f( 1 3 + 1 3 )=f( 1 3 )+f( 1 3 )=2 ∴ f(x)+f(2+x)=f[x+(2+x)]=f(2x+2)＜f( 2 3 ) ， 又由y=f（x）是定义在R上的增函数，得 2x+2＜ 2 3 解之得 x＜- 2 3 ，故 x∈(-∞，- 2 3 ) ．