Question

若函数f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=3对称，则f（x）的最大值是______

若函数f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=3对称，则f（x）的最大值是______．

Answer 1

由函数f（x）=（1-x²）（x²+ax+b）的图象关于直线x=3对称可知，
f（2）=f（4），f（1）=f（5）．
即

2b+9a+38＝0 25+5a+b＝0

，
解得：

a＝?12 b＝35

．
则f（x）=（1-x²）（x²-12x+35）=-x⁴+12x³-34x²-12x+35，
则令f′（x）=-4（x-3）（x²-6x-1）=0，
解得：x＝3或x＝3±

10

．
而f(3)＝?64，f(3±

10

)＝36．
故答案为：36．
法二：f（x）=（1-x²）（x²-12x+35）
=（1-x）（x-5）（1+x）（x-7）
=（-x²+6x-5）（x²-6x-7）≤

1

2

(?5?7)2＝36；
（当且仅当-x²+6x-5=x²-6x-7，即x=3±

10

时，等号成立．）
故答案为：36．